人教版九年級上冊數學課本知識點歸納

第二十一章 二次根式

一、二次根式

1．二次根式：把形如

a(a  0)的式子叫做二次根式， “

根號。

2．最簡二次根式：若二次根式滿足：①被開方數不含分母；②被開方數

中不含能開得盡方的因數或因式。這樣的二次根式叫做最簡二次根式。

3．化簡：化二次根式為最簡二次根式（1）如果被開方數是分數（包括小

數）或分式，先利用商的算數平方根的性質把它寫成分式的形式，然后利用分

母有理化進行化簡。

（2）如果被開方數是整數或整式，先將他分解因數或因式，

然后把能開得盡方的因數或因式開出來。

4．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數

相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。

5．代數式：運用基本運算符號，把數和表示數的字母連起來的式子，叫

代數式。

6．二次根式的性質

2

( a)  a(a  0)

（1）

” 表示二次

a(a  0)

（2）

a2  a 

 a(a  0)

（3）

ab 

a •

b(a  0,b  0)(乘法)

a

a



(a  0,b  0)

（4）

b

b

(除法)

二、二次根式混合運算

1．二次根式加減時，可以把二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數

相同的最簡二次根式進行合并。

2．二次根式的混合運算與實數中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最

后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）。

第二十二章一元二次方程

一、一元二次方程

1、一元二次方程

含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是 2(二次)的整式方程叫

做一元二次方程。

2

2

ax  bx  c  0(a  0)

ax

2、一元二次方程的一般形式

，其中

叫做二次項，a

叫做二次項系數；bx 叫做一次項，b 叫做一次項系數；c 叫做常數項。

二、降次----解一元二次方程

1．降次：把一元二次方程化成兩個一元一次方程的過程(不管用什么方法

解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)

2、直接開平方法

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平

2

方法。直接開平方法適用于解形如 x2=b 或(x  a)  b 的一元二次方程。根據平

方根的定義可知， x  a是 b 的平方根，當b  0時， x  a   b ， x  a 

b ，當

b<0 時，方程沒有實數根。

2

2

2

a  2ab  b  (a  b)

3、配方法：配方法的理論根據是完全平方公式

，把公

2

2

2

x  2bx  b  (x  b)

式中的 a 看做未知數 x，并用 x 代替，則有

。

配方法解一元二次方程的步驟是：①移項、②配方(寫成平方形式)、③用

直接開方法降次、④解兩個一元一次方程、⑤判斷 2 個根是不是實數根。

4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。

2

ax  bx  c  0(a  0)的求根公式：

一元二次方程

x   b 

b 2  4 ac (b 2  4 ac  0 )

2 a

2

當b  4ac >0 時，方程有兩個實數根。

2

當b  4ac =0 時，方程有兩個相等實數根。

2

當b  4ac ＜0 時，方程沒有實數根。

5、因式分解法：先將一元二次方程因式分解，化成兩個一次式的乘積等

于 0 的形式，再使這兩個一次式分別等于 0，從而實現降次，這種解叫因式分

解法。這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判別式

2

ax  bx  c  0(a  0)中，b 2  4ac 叫做一元二次方

根的判別式：一元二次方程

2

ax  bx  c  0(a  0)的根的判別式，通常用“ ”來表示，即  b 2  4ac

程

四、一元二次方程根與系數的關系

2

ax  bx  c  0(a  0)的兩個實數根是 x

1，x

2，由求根公式

如果方程

x   b 

b 2  4ac

b

c

(b 2  4ac  0)

x

1  x

2  

x

1x

2 

2a

a ，

a 。

可算出

第二十三章 旋轉

一、旋轉

1、定義：把一個圖形繞某一點 O 轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，其

中 O 叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。

2、性質

（1）對應點到旋轉中心的距離相等。

（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角。

⑶ 旋轉前后的圖形全等。

二、中心對稱

1、定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉 180°，如果旋轉后的圖形能夠和

原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱

中心。

2、性質

（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。

（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對

稱中心平分。

（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相

等。

3、判定：如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，

那么這兩個圖形關于這一點對稱。

4、中心對稱圖形：把一個圖形繞某一個點旋轉 180°，如果旋轉后的圖形

能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它

的對稱中心。

5、關于原點對稱的點的特征：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標的符

號相反，即點 P（x，y）關于原點的對稱點為 P’（-x，-y）

6、關于 x 軸對稱的點的特征：兩個點關于 x 軸對稱時，它們的坐標中，x

相等，y 的符號相反，即點 P（x，y）關于 x 軸的對稱點為 P’（x，-y）。

7、關于 y 軸對稱的點的特征：兩個點關于 y 軸對稱時，它們的坐標中，y

相等，x 的符號相反，即點 P（x，y）關于 y 軸的對稱點為 P’（-x，y）。

第二十四章 圓

一、圓的相關概念

1、圓的定義：在一個個平面內，線段 OA 繞

一個端點 O 旋轉一周，另一個端點 A 隨之旋轉所

形叫做圓，固定的端點 O 叫做圓心，線段 OA 叫做

它 固 定 的

形 成 的 圖

半徑。

2、圓的幾何表示：以點 O 為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓 O”

二、弦、弧等與圓有關的定義

（1）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的 AB）

（2）直徑：經過圓心的弦叫做直徑。（如

直徑等于半徑的 2 倍。

（3）半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點

條弧，每一條弧都叫做半圓。

（4）弧、優弧、劣�。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧�；∮�

符號“⌒”表示，以A，B 為端點的弧記作“ ”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。

大于半圓的弧叫做優�。ǘ嘤萌齻�字母表示）；小于半圓的弧叫做劣�。ǘ嘤�

兩個字母表示）

三、垂徑定理及其推論

1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

推論 1：（1）平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條

弧。（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（3）平分弦所

分 圓 成 兩

途中的 CD）

對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

四、圓的對稱性

1、圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對

稱軸。

2、圓的中心對稱性：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理

1、圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦

的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦

的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。

六、圓周角定理及其推論

1、圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論 1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所

對的弧也相等。

推論 2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是

直徑。

推論 3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直

角三角形。

七、點和圓的位置關系

設⊙O 的半徑是 r，點 P 到圓心 O 的距離為 d，則有：

d

d=r 點 P 在⊙O 上；

d>r 點 P 在⊙O 外。

八、過三點的圓

1、過三點的圓：不在同一直線上的三個點確定一個圓。

2、三角形的外接圓：經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。

3、三角形的外心：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線

的交點，它叫做這個三角形的外心。

4、圓內接四邊形性質（四點共圓的判定條件）：圓內接四邊形對角互補。

九、反證法

先假設命題中的結論不成立，然后由此經過推理，引出矛盾，判定所做的

假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

十、直線與圓的位置關系

直線和圓有三種位置關系，具體如下：

（1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫

做圓的割線，公共點叫做交點；

（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫

做圓的切線，

（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。

如果⊙O 的半徑為 r，圓心 O 到直線 l 的距離為 d,那么：

直線 l 與⊙O 相交  d

直線 l 與⊙O 相切 d=r；

直線 l 與⊙O 相離 d>r；

十一、切線的判定和性質

1、切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的

切線。

2、切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。

十二、切線長定理

1、切線長：在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長

叫做這點到圓的切線長。

2、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心

和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

十三、三角形的內切圓

1、三角形的內切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。

2、三角形的內心：三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的

交點，它叫做三角形的內心。

十四、圓和圓的位置關系

1、圓和圓的位置關系：如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，

相離分為外離和內含兩種。

如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，相切分為外切和內

切兩種。

如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交。

2、圓心距：兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。

3、圓和圓位置關系的性質與判定

設兩圓的半徑分別為 R 和 r，圓心距為 d，那么

兩圓外離 d>R+r

兩圓外切 d=R+r

兩圓相交 R-r

兩圓內切 d=R-r（R>r）

兩圓內含 dr）

4、兩圓相切、相交的重要性質：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線

上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直

平分兩圓的公共弦。

十五、正多邊形和圓

1、正多邊形的定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形和圓的關系：只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以做出

這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。

十六、與正多邊形有關的概念

1、正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距：正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個

正多邊形的邊心距。

4、中心角：正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形

的中心角。

十七、正多邊形的對稱性

1、正多邊形的軸對稱性：正多邊形都是軸對稱圖形。一個正 n 邊形共有 n

條對稱軸，每條對稱軸都通過正 n 邊形的中心。

2、正多邊形的中心對稱性：邊數為偶數的正

是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中

多邊形

心。

3、正多邊形的畫法：先用量角器或尺規等分圓，再做正多邊形。

十八、弧長和扇形面積

1、弧長公式：n°的圓心角所對的弧長 l 的計算公式為

2、扇形面積公式：

S

扇 

l  nr

180

n

1

R 2 

lR

360

2

其中 n 是扇形的圓心角度數，R 是扇

形的半徑，l 是扇形的弧長。

3、圓錐的側面積：

面半徑。

4、弦切角定理：弦切角：圓的切線與經過切點的弦所夾的角，叫做弦切

角。

弦切角定理：弦切角等于弦與切線

夾的弧所對的圓周角。

即：∠BAC=∠ADC

5、切割線定理

PA 為⊙O 切線，PBC 為⊙O 割線，

2

則 PA  PB • PC

S  1 l • 2r  rl

2

其中 l 是圓錐的母線長，r 是圓錐的地

第二十五章

概率初步

一、概率

1．隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨

機事件．一般的，隨機事件發生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發生的

可能性大小有可能不同。

(確定事件：事先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發生的事件稱為不可能事件，必

然事件和不可能事件都是確定的．事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，)

二、概率

1.概率：

（1）一般地，在大量重復實驗中，如果事件A 發生的頻率 m∕n 會穩定在

某個常數 p 附近，那么這個常數 p 就叫做事件 A 的概率，記為 P（A）=p。（頻

率接近概率）

（2）概率是頻率（多個）的波動穩定值，是對事件發生可能性大小的量

的表現。概率反映可能性大小的一般規律。

（3）概率取值范圍：0≤p≤1．

（4）必然發生的事件的概率 P（A）=1；不可能發生事件的概率 P（A）=0．

（5）事件發生的可能性越大，概率越接近與 1，事件發生的可能性越小，

概率越接近于 0．

二、求概率方法

一般地，如果在一次實驗中，有 n 種可能的結果，并且它們發生的可能性

都相等，事件 A 包含其中的 m 種結果，那么事件發生的概率為 P（A）=m∕n 。

1.列舉法：一次實驗中，涉及 1 個因素，并且可能出現的結果數目有限多

個，并且它們發生的可能性都相等，把可能的結果都列出來， 求 P（A）=m∕n

的方法。

2.列表法：當一次實驗要涉及 2 個因素，并且可能出現的結果數目較多，

并且它們發生的可能性都相等，為不重不漏地列出所有可能的結果，采用列表

法。（頻率等于概率）

（1）當試驗中存在兩個元素且出現的所有可能的結果較多時，我們常用

列表的方式，列出所有可能的結果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結果求出 n，再從中選

出符合事件 A 或 B 的結果數目 m，求出概率．

3.樹狀法：當一次實驗要涉及 3 個或更多的因素，列表法就不方便了，為

不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖法．（頻率等于概率）

樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，象

樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數就是總的可能的結果 n．

4.游戲公平性

（1）判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后

比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．

三、利用頻率估計概率

1.利用頻率估計概率（頻率接近概率）

（1）大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且

擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估

計概率，這個固定的近似值 p 就是這個事件的概率．

（2）用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數的增多，值越來越精

確．

（3）當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數很多，或各種可能結

果發生的可能性不相等時，一般通過統計頻率來估計概率．

2.模擬實驗

（1）在一些有關抽取實物實驗中通常用摸取卡片代替了實際的物品或人

抽取，這樣的實驗稱為模擬實驗．

（2）模擬實驗是用卡片、小球編號等形式代替實物進行實驗，或用計算

機編號等進行實驗，目的在于省時、省力，但能達到同樣的效果．

（3）模擬實驗只能用更簡便方法完成，驗證實驗目的，但不能改變實驗

目的，這部分內容根據《新課標》要求，只要設計出一個模擬實驗即可．